綜合與實(shí)踐
問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：
如圖1，在四邊形ABCD中，AB=BC，CH⊥AB，EB⊥BC，∠AGC=∠ABC，∠HCB=∠BDA．在圖中找出與∠BAD相等的角，并證明．
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問題．
實(shí)踐探究：（2）在原有條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出了新問題，請(qǐng)你解答．
“若BD=mAB，AD=aCF，探究線段CF，DF，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（用含有m,a的代數(shù)式表示）．”
問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)對(duì)上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，保留（1）條件，如果給出EF，CF，AD之間的數(shù)量關(guān)系，則圖2中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的任意兩條線段之間的比值均可求．該小組提出下面的問題，請(qǐng)你解答．
“如圖2，在（1）的條件下，若EF=kCF（0＜k＜1），AD=3CF，求GFBD的值（用含有k的代數(shù)式表示）．”
GF
BD
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】（1）∠BAD=∠BCE=∠EBF，證明見解析過程；
（2）（a-1）2CF2+FD2=m2AC2，證明見解析過程；
（3）．
（2）（a-1）2CF2+FD2=m2AC2，證明見解析過程；
（3）
GF
BD
=
k
k
+
4
k
-
k
3
+
4
k
2
2
k
+
8
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/16 8:0:9組卷：86引用：2難度：0.5
相似題
-
1．已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．
問題發(fā)現(xiàn)：
（1）①如圖1，若四邊形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，則=；DECF
②如圖2，當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，且DE⊥CF于G，AB=m,AD=n,則=；DECF
拓展研究：
（2）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，且∠B+∠EGC=180°時(shí)，求證：；DECF=ADCD
解決問題：
（3）如圖4，若BA=BC=5，DA=DC=10，∠BAD=90°，DE⊥CF于G，請(qǐng)直接寫出的值．DECF
發(fā)布：2025/5/23 23:30:1組卷：2292引用：6難度：0.3 -
2．[問題情境]
（1）王老師給愛好學(xué)習(xí)的小明和小穎提出這樣一個(gè)問題：如圖①，在△ABC中，AB=AC，P為邊BC上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．求證：PD+PE=CF．
小明的證明思路是：
如圖②，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．
小穎的證明思路是：
如圖②，過點(diǎn)P作PG⊥CF，垂足為G，可以證得：PD=GF，PE=CG，則PD+PE=CF．
請(qǐng)你選擇小明、小穎兩種證明思路中的任意一種，寫出詳細(xì)的證明過程．
[變式探究]（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，問題情境中，其余條件不變，求證：PD-PE=CF．
[結(jié)論運(yùn)用]（3）如圖④，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分別為G，H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值．
[遷移拓展]（4）圖⑤是一個(gè)機(jī)器模型的截面示意圖，在四邊形ABCD中，E為AB邊上的一點(diǎn)，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D，C，且AD?CE=DE?BC，AB=2cm,AD=3cm,BD=13cm,MN分別為AE，BE的中點(diǎn)，連接DM，CN，請(qǐng)直接寫出△DEM與△CEN的周長(zhǎng)之和．37
發(fā)布：2025/5/24 0:30:1組卷：278引用：1難度：0.1 -
3．在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F(xiàn)是對(duì)角線AC上不與點(diǎn)A，C重合的一點(diǎn)，過F作FE⊥AD于E，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，點(diǎn)G在射線AD上，連接CG．
（1）如圖1，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)G落在AD上，∠FGC=90°，延長(zhǎng)GF交AB于H，連接CH．
①求證：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如圖2，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)G落在AD延長(zhǎng)線上，∠GCF=90°，判斷△GCF與△AEF是否全等，并說明理由．
發(fā)布：2025/5/23 23:0:1組卷：1132引用：5難度：0.3