已知點(diǎn)F1、F2為雙曲線C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點(diǎn)M，且∠MF1F2=30°，圓O的方程是x2+y2=b2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過雙曲線C上任意一點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1、P2，求PP1?PP2的值；
（3）過圓O上任意一點(diǎn)Q作圓O的切線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為M，求證：|AB|=2|OM|．
C
：
x
2
-
y
2
b
2
=
1
P
P
1
?
P
P
2
【考點(diǎn)】直線與雙曲線的綜合．
【答案】（1）；
（2）；
（3）證明：由題意，即證：OA⊥OB．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），切線l的方程為：x0x+y0y=2…（11分）
①當(dāng)y0≠0時，切線l的方程代入雙曲線C中，化簡得：
所以：，
又…（13分）
所以…（15分）
②當(dāng)y0=0時，易知上述結(jié)論也成立．所以…（16分）
綜上，OA⊥OB，所以．
x
2
-
y
2
2
=
1
（2）
2
9
（3）證明：由題意，即證：OA⊥OB．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），切線l的方程為：x0x+y0y=2…（11分）
①當(dāng)y0≠0時，切線l的方程代入雙曲線C中，化簡得：
（
2
y
0
2
-
x
0
2
）
x
2
+
4
x
0
x
-
（
2
y
0
2
+
4
）
=
0
所以：
x
1
+
x
2
=
-
4
x
0
（
2
y
0
2
-
x
0
2
）
，
x
1
x
2
=
-
（
2
y
0
2
+
4
）
（
2
y
0
2
-
x
0
2
）
又
y
1
y
2
=
（
2
-
x
0
x
1
）
y
0
?
（
2
-
x
0
x
2
）
y
0
=
1
y
0
2
[
4
-
2
x
0
（
x
1
+
x
2
）
+
x
0
2
x
1
x
2
]
=
8
-
2
x
0
2
2
y
0
2
-
x
0
2
所以
OA
?
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
-
（
2
y
0
2
+
4
）
（
2
y
0
2
-
x
0
2
）
+
8
-
2
x
0
2
2
y
0
2
-
x
0
2
=
4
-
2
（
x
0
2
+
y
0
2
）
2
y
0
2
-
x
0
2
=
0
②當(dāng)y0=0時，易知上述結(jié)論也成立．所以
OA
?
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
0
綜上，OA⊥OB，所以
|
AB
|
=
2
|
OM
|
【解答】
【點(diǎn)評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：401引用：9難度：0.5
相似題
-
1．已知雙曲線C：
=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)為A，過左焦點(diǎn)F的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)．當(dāng)PQ⊥x軸時，|PA|=x2a2-y2b2，△PAQ的面積為3．10
（1）求C的方程；
（2）證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)．發(fā)布：2024/12/18 0:0:1組卷：709引用：8難度：0.5 -
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線E：（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A，過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC的面積為x2a2-y2b2=1．2+1
（1）求雙曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx-1與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．|MN||PQ|發(fā)布：2024/10/31 12:30:1組卷：542引用：11難度：0.5 -
3．已知雙曲線
的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段BF1的中點(diǎn)，且BF1⊥BF2，則C的離心率為（ ）C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）發(fā)布：2024/11/8 21:0:2組卷：445引用：8難度：0.5
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