已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距為2，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線3x-4y+5=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線AF2與BF2的斜率分別為k1，k2，且k1+k2=0，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
將直線y=kx+m（m≠0）代入橢圓x2+2y2=2，
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
即有Δ=16k2m2-8（1+2k2）（m2-1）＞0，，
由，
即有2kx1x2-2m+（m-k）（x1+x2）=0，
代入韋達(dá)定理，可得，
化簡(jiǎn)可得m=-2k，
則直線的方程為y=kx-2k，y=k（x-2），
故直線l恒過(guò)定點(diǎn)（2，0）．
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
將直線y=kx+m（m≠0）代入橢圓x2+2y2=2，
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
即有Δ=16k2m2-8（1+2k2）（m2-1）＞0，
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
，
x
1
x
2
=
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
由
k
1
+
k
2
=
y
1
x
1
-
1
+
y
2
x
2
-
1
=
k
x
1
+
m
x
1
-
1
+
k
x
2
+
m
x
2
-
1
=
0
即有2kx1x2-2m+（m-k）（x1+x2）=0，
代入韋達(dá)定理，可得
2
k
?
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
-
2
m
+
（
m
-
k
）
（
-
4
km
1
+
2
k
2
）
=
0
化簡(jiǎn)可得m=-2k，
則直線的方程為y=kx-2k，y=k（x-2），
故直線l恒過(guò)定點(diǎn)（2，0）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/9/12 9:0:8組卷：108引用：5難度：0.5
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-
1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
2．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4528引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6
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