定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，當(dāng)點N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．
（1）如圖①，矩形ABCD的頂點坐標(biāo)分別是A（-1，2），B（-1，-1），C（3，-1），D（3，2），在點M1（1，1），M2（2，2），M3（3，3）中，是矩形ABCD“夢之點”的是 M1，M2M1，M2；
（2）如圖②，已知點A，B是拋物線y=-12x2+x+92上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點．連接AC，AB，BC，求△ABC的面積；
（3）在（2）的條件下，點P為拋物線上一點，點Q為平面內(nèi)一點，是否存在點P、Q，使得以AB為對角線，以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
y
=
-
1
2
x
2
+
x
+
9
2
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】M1，M2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/9/21 4:0:8組卷：581引用：3難度：0.2
相似題
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1．在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點為“不動點”．例如（-3，-3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不動點”．已知雙曲線
．y=9x
（1）下列說法不正確的是 ．
A．直線y=x的圖象上有無數(shù)個“不動點”
B．函數(shù)的圖象上沒有“不動點”y=-1x
C．直線y=x+1的圖象上有無數(shù)個“不動點”
D．函數(shù)y=x2的圖象上有兩個“不動點”
（2）求雙曲線上的“不動點”；y=9x
（3）若拋物線y=ax2-3x+c（a、c為常數(shù)）上有且只有一個“不動點”，
①當(dāng)a＞1時，求c的取值范圍．
②如果a=1，過雙曲線圖象上第一象限的“不動點”作平行于x軸的直線l,若拋物線上有四個點到l的距離為m,直接寫出m的取值范圍．y=9x發(fā)布：2025/5/24 13:30:2組卷：1194引用：10難度：0.3 -
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-4（a≠0）與x軸交于點A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線l為該拋物線的對稱軸，點D與點C關(guān)于直線l對稱，點P為直線AD下方拋物線上一動點，連接PA，PD，求△PAD面積的最大值．
（3）在（2）的條件下，將拋物線y=ax2+bx-4（a≠0）沿射線AD平移4個單位，得到新的拋物線y1，點E為點P的對應(yīng)點，點F為y1的對稱軸上任意一點，在y1上確定一點G，使得以點D，E，F(xiàn)，G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G的坐標(biāo)，并任選其中一個點的坐標(biāo)，寫出求解過程．2
發(fā)布：2025/5/24 14:0:2組卷：3322引用：11難度：0.3 -
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過點A（-1，0）、B（5，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）將（1）中的拋物線向下平移6個單位長度，再向左平移h（h＞0）個單位長度，得到新的拋物線．若新拋物線的頂點D'在△ABC內(nèi)，求h的取值范圍；
（3）點P為線段BC上一動點（點P不與B、C重合），過點P作x軸的垂線交（1）中的拋物線于點Q，當(dāng)△PQC與△ABC相似時，求△PQC的面積．發(fā)布：2025/5/24 14:0:2組卷：115引用：1難度：0.1