當(dāng)前位置：
2020-2021學(xué)年黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)實(shí)驗(yàn)二部高二（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（文科）>
試題詳情
已知圓A：x2+y2+2x-15=0和定點(diǎn)B（1，0），M是圓A上任意一點(diǎn)，線段MB的垂直平分線交MA于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)N的軌跡為C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)R，使當(dāng)k變化時，總有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）設(shè)存在點(diǎn)R（t，0）滿足題設(shè)，聯(lián)立直線y=k（x-1）與橢圓方程消y得
（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則由韋達(dá)定理得①，②，
由題設(shè)知OR平分∠PRQ?直線RP與直RQ的傾斜角互補(bǔ)，即直線RP與直線RQ的斜率之和為零，
即，即x1y2+x2y1-t（y1+y2）=0，
即2kx1x2-（1+t）k（x1+x2）+2tk=0③，
把①、②代入③并化簡得，即（t-4）k=0④，
所以當(dāng)k變化時④成立，只要t=4即可，
所以存在定點(diǎn)R（4，0）滿足題設(shè)．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（Ⅱ）設(shè)存在點(diǎn)R（t，0）滿足題設(shè)，聯(lián)立直線y=k（x-1）與橢圓方程
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則由韋達(dá)定理得
x
1
+
x
2
=
8
k
2
4
k
2
+
3
x
1
x
2
=
4
k
2
-
12
4
k
2
+
3
由題設(shè)知OR平分∠PRQ?直線RP與直RQ的傾斜角互補(bǔ)，即直線RP與直線RQ的斜率之和為零，
即
y
1
x
1
-
t
+
y
2
x
2
-
t
=
0
即2kx1x2-（1+t）k（x1+x2）+2tk=0③，
把①、②代入③并化簡得
（
t
-
4
）
k
4
k
2
+
3
=
0
所以當(dāng)k變化時④成立，只要t=4即可，
所以存在定點(diǎn)R（4，0）滿足題設(shè)．
【解答】
【點(diǎn)評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/7/25 8:0:9組卷：434引用：7難度：0.5
相似題
-
1．橢圓
（b＞0）與雙曲線x225+y2b2=1有公共的焦點(diǎn)，則b=．x28-y2=1發(fā)布：2024/12/30 13:0:5組卷：187引用：7難度：0.8 -
2．兩千多年前，古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，其截口曲線是圓錐曲線（如圖）．已知圓錐軸截面的頂角為2θ，一個不過圓錐頂點(diǎn)的平面與圓錐的軸的夾角為α．當(dāng)時，截口曲線為橢圓；當(dāng)α=θ時，截口曲線為拋物線；當(dāng)0＜α＜θ時，截口曲線為雙曲線．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，下列說法正確的是（ ?。?/h2>θ＜α＜π2發(fā)布：2024/12/11 15:30:1組卷：548引用：3難度：0.3 -
3．已知等軸雙曲線N的頂點(diǎn)分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn)F1、F2．C：x26+y22=1
（Ⅰ）求等軸雙曲線N的方程；
（Ⅱ）Q為該雙曲線N上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線QF1和QF2與橢圓C的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)和G，H，求|EF|+4|GH|的最小值．發(fā)布：2024/12/29 3:0:1組卷：351引用：3難度：0.6