已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|=4，且a=2b.
（1）求C的方程；
（2）若A，B為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F2且垂直x軸的直線平分∠AF2B，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
2
【答案】（1）+=1；
（2）證明：由題意可得直線AB的斜率存在，F(xiàn)2（2，0），
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
則Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=64k2-8m2+32＞0，
且x1+x2=-，x1x2=，
設(shè)直線F2A，F(xiàn)2B的傾斜角分別為α，β，
則α=π-β，k+k=+=0，代入y1=kx1+m，y2=kx2+m，
所以2kx1x2+（m-2k）x1x2-4m=0，
即有2k?+（2k-m）?-4m=0，
化簡(jiǎn)可得m=-4k，
則直線AB的方程為y=kx-4k=k（x-4），
故直線AB過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
x
2
8
y
2
4
（2）證明：由題意可得直線AB的斜率存在，F(xiàn)2（2，0），
設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y = kx + m |
x 2 + 2 y 2 = 8 |
則Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=64k2-8m2+32＞0，
且x1+x2=-
4
km
1
+
2
k
2
2
m
2
-
8
1
+
2
k
2
設(shè)直線F2A，F(xiàn)2B的傾斜角分別為α，β，
則α=π-β，k
F
2
A
F
2
B
y
1
x
1
-
2
y
2
x
2
-
2
所以2kx1x2+（m-2k）x1x2-4m=0，
即有2k?
2
m
2
-
8
1
+
2
k
2
4
km
1
+
2
k
2
化簡(jiǎn)可得m=-4k，
則直線AB的方程為y=kx-4k=k（x-4），
故直線AB過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：412引用：11難度：0.5
相似題
-
1．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
2．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4515引用：26難度：0.3 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6