已知動圓P過點(diǎn)F2（2，0），并且與圓F1：（x+2）2+y2=4相外切，設(shè)動圓的圓心P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過動點(diǎn)P作直線與曲線3x2-y2=0交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時，求|OA|?|OB|的值；
（3）過點(diǎn)F2的直線l1與曲線C交于E、F兩點(diǎn)，設(shè)直線l：x=12，點(diǎn)D（-1，0），直線ED交l于點(diǎn)M，求證：直線FM經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
F
1
：
（
x
+
2
）
2
+
y
2
=
4
l
：
x
=
1
2
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；軌跡方程．
【答案】（1）曲線C的方程為（x≥1）；
（2）4；
（3）①當(dāng)斜率不存在時，l1：x=2 可知E（2，3），F(xiàn)（2，-3），
∵D（-1，0），所以直線ED：，
M（），所以直線FM： 即 y=-3（x-1）
所以直線恒過（1，0）；
②當(dāng)斜率存在時，l1：y=k（x-2），
聯(lián)立雙曲線方程，消去y，可得 （3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）
根據(jù)韋達(dá)定理可得
，
則直線ED的方程為，當(dāng)x=時，y=，M（）
設(shè)點(diǎn)N（1，0），若FM過定點(diǎn)N，則兩直線斜率相等．
即kFN=kMN，
，
，
所以FM恒過定點(diǎn)N（1，0），
∴綜上所述，直線FM恒過定點(diǎn)（1，0）．
x
2
-
y
2
3
=
1
（2）4；
（3）①當(dāng)斜率不存在時，l1：x=2 可知E（2，3），F(xiàn)（2，-3），
∵D（-1，0），所以直線ED：
y
=
3
2
-
（
-
1
）
（
x
+
1
）
，
即
y
=
x
+
1
M（
1
2
，
3
2
y
+
3
=
-
3
-
3
2
2
-
1
2
（
x
-
2
）
所以直線恒過（1，0）；
②當(dāng)斜率存在時，l1：y=k（x-2），
聯(lián)立雙曲線方程，消去y，可得 （3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0，
設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）
根據(jù)韋達(dá)定理可得
x 1 + x 2 = - 4 k 2 3 - k 2 |
x 1 ? x 2 = - 4 k 2 - 3 3 - k 2 |
則直線ED的方程為
y
=
y
1
x
1
+
1
（
x
+
1
）
1
2
3
2
×
y
1
x
1
+
1
1
2
，
3
y
1
2
（
x
1
+
1
）
設(shè)點(diǎn)N（1，0），若FM過定點(diǎn)N，則兩直線斜率相等．
即kFN=kMN，
y
2
x
2
-
1
=
3
y
1
2
（
x
1
+
1
）
-
1
2
=
-
3
y
1
x
1
+
1
4
×
-
4
k
2
-
3
3
-
k
2
-
5
×
-
4
k
2
3
-
k
2
+
4
=
0
所以FM恒過定點(diǎn)N（1，0），
∴綜上所述，直線FM恒過定點(diǎn)（1，0）．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：872引用：3難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：101引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ）條．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7