定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點與該邊所對頂點連線長度的平方，則稱這個點為三角形該邊的“奇點”．如圖1，△ABC中，點E是BC邊上一點，連接AE，若AE2=BE?CE，則稱點E是△ABC中BC邊上的“奇點”．
?（1）如圖2，已知，在四邊形ABCD中，BD平分AC于點E，∠CAD=∠CBD，求證：點E是△ABD中BD邊上的“奇點”：
（2）如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點E是△ABC中BC邊上的“奇點”，若∠BAE=∠CAE，求AE2AB?AC的值；
（3）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=45，BC=10，點E是BC邊上的“奇點”，求線段BE的長．
A
E
2
AB
?
AC
AB
=
4
5
【考點】相似形綜合題．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）8或5．
（2）
1
2
（3）8或5．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/1 8:0:9組卷：209引用：1難度：0.5
相似題
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1．小波在復習時，遇到一個課本上的問題，溫故后進行了操作、推理與拓展．
（1）溫故：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點P，N分別在AB，AC上，且．若BC=6，AD=4，則正方形PQMN的邊長等于 ；PNBC+MNAD=1
（2）操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作：如圖2，任意畫△ABC，在AB上任取一點P'，畫正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC邊上，N'在△ABC內(nèi)，連結BN'并延長交AC于點N，畫NM⊥BC于點M，NP⊥NM交AB于點P，PQ⊥BC于點Q，得到四邊形PQMN；
（3）推理：如圖3，若點E是BN的中點，求證：EP=EQ；
（4）拓展：在（2）的條件下，射線BN上截取NE=NM，連結EQ，EM（如圖4）．當∠NBM=30°時，猜想∠QEM的度數(shù)，并嘗試證明．
請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題．發(fā)布：2025/6/7 9:0:2組卷：103引用：3難度：0.3 -
2．圖①、圖②、圖③都是5×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長為1，點A、B、C、D均在格點上．請按要求解答問題．（畫圖只能用無刻度的直尺，保留作圖痕跡）
要求：（1）如圖①，=；BECE
（2）如圖②，在BC上找一點F使BF=2；
（3）如圖③，在AC上找一點M，連結BM、DM，使△ABM∽△CDM．
發(fā)布：2025/6/7 8:30:2組卷：210引用：4難度：0.5 -
3．感知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點P在BC邊上，當∠APD=90°時，△ABP與△PCD是否相似？（填“是”或“否”）．
探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當∠B=∠C=∠APD時，求證：△ABP∽△PCD．
拓展：如圖③，在△ABC中，點P是邊BC的中點，點 D、E分別在邊AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，
BC=，CE=9，則DE的長為 ．122
發(fā)布：2025/6/7 5:0:1組卷：395引用：5難度：0.4