數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用：
白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐李欣
模型學(xué)習(xí)：詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱變換，把直線同側(cè)兩點(diǎn)的折線問題轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的線段問題，從而解決距離和最短的一類問題，“將軍飲馬”問題的數(shù)學(xué)模型如圖1所示：在直線l上存在點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。?br />作法：作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，A'B與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．此時(shí)PA+PB的值最?。?br />模型應(yīng)用：
（1）如圖2，已知△ABC為等邊三角形，高AH=8cm,P為AH上一動(dòng)點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)．
①當(dāng)PD+PB的最小值時(shí)，在圖中確定點(diǎn)P的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）．
②則PD+PB的最小值為 88cm.
模型變式：
（2）如圖3所示，某地有塊三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB內(nèi)一點(diǎn)，連接PO后測得PO=10米，現(xiàn)當(dāng)?shù)卣谌切慰盏谹OB中修一個(gè)三角形花壇PQR，點(diǎn)Q，R分別是OA，OB邊上的任意一點(diǎn)（不與各邊頂點(diǎn)重合），求△PQR周長的最小值．
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．
【答案】8
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/10/7 1:0:1組卷：507引用：1難度：0.2
相似題
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1．【發(fā)現(xiàn)奧秘】
（1）如圖1，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，EC，BE，分別將AC，EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DC，F(xiàn)C，連接AD，DF，EF．當(dāng)B，E，F(xiàn)，D四個(gè)點(diǎn)滿足 時(shí)，BE+AE+CE的值最小，最小值為 ．
【解法探索】
（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，請求出當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)∠BCP的度數(shù)，并直接寫出此時(shí)PA：PB：PC的值．（提示：分別將PC，AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DC，EC，連接PD，DE，AE）
【拓展應(yīng)用】
（3）在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，直接寫出當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)，PA：PB：PC的值．
發(fā)布：2025/5/26 0:30:1組卷：232引用：1難度：0.4 -
2．下面是某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作的探究活動(dòng)：
（1）如圖1，小明同學(xué)得出△OAC≌△BPC，他的判斷理由是 ．問題：
如圖1，已知，∠MON=60°，點(diǎn)A在邊OM上，點(diǎn)P是邊ON上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為斜邊作Rt△ACP，AC=PC，∠ACP=90°（C和O在AP的兩側(cè)），連接OC，將線段OC繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至BC，連接OB．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
（2）如圖2，小穎同學(xué)作BD⊥ON于D，她認(rèn)為OA與BD存在某種數(shù)量關(guān)系，那么OA與BD是否有數(shù)量關(guān)系？如果有數(shù)量關(guān)系，請你寫出OA與BD的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
（3）如圖1，小華說，當(dāng)OA=2，當(dāng)△AOP是直角三角形時(shí)，可求出OB2的值，請你直接寫出OB2的值．發(fā)布：2025/5/25 22:30:2組卷：142引用：2難度：0.1 -
3．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，H為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AG，連接GC，HB．
（1）證明：△AHB≌△AGC；
（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點(diǎn)Q．①證明：在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過程中，總有∠HFG=90°；②若AG=QG，AB=AC=4，求EH的長度．發(fā)布：2025/5/26 1:0:1組卷：181引用：1難度：0.3