設(shè)拋物線C：x2=2py（0＜p＜8）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，且PF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，52）
（Ⅰ）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）動(dòng)直線l過點(diǎn)A（0，2），且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱（點(diǎn)Q與點(diǎn)N不重合），求證：直線QN恒過定點(diǎn)．
5
2
【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合．
【答案】（Ⅰ）x2=4y；
（Ⅱ）（法一）依題意直線l的斜率存在，
設(shè)直線l：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（-x1，y1），
聯(lián)立
消去y得x2-4kx-8=0，顯然Δ＞0，由韋達(dá)定理得
，
∵，
∴直線QN方程為，
即，
∵x1?x2=-8，∴QN方程為，
即直線QN方程恒過定點(diǎn)（0，-2）．
（法二）依題意知直線QN的斜率存在且不為0，
設(shè)直線QN方程為y=kx+b，Q（x1，y1），N（x2，y2），
則M（-x1，y1），
聯(lián)立
消去y得x2-4kx-4b=0．
∵Q，N是拋物線C上不同兩點(diǎn)，∴必有Δ＞0，
由韋達(dá)定理得
，
∵M(jìn)，A，N三點(diǎn)共線，，
∴-x1（y2-2）-x2（y1-2）=0．∴-x1（kx2+b-2）-x2（kx1+b-2）=0，
∴2kx1x2+（b-2）（x1+x2）=0，即2k?（-4b）+（b-2）?4k=0化簡(jiǎn)得：kb+2k=0，
∵k≠0，∴b=-2，
∴直線QN方程為y=kx-2，
∴直線QN恒過定點(diǎn)（0，-2）．
（Ⅱ）（法一）依題意直線l的斜率存在，
設(shè)直線l：y=kx+2，M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（-x1，y1），
聯(lián)立
x 2 = 4 y |
y = kx + 2 |
x 1 + x 2 = 4 k |
x 1 x 2 = - 8 . |
∵
k
QN
=
y
2
-
y
1
x
2
+
x
1
=
x
2
2
4
-
x
1
2
4
x
2
+
x
1
=
x
2
-
x
1
4
∴直線QN方程為
y
-
y
1
=
x
2
-
x
1
4
（
x
+
x
1
）
即
y
=
y
1
+
x
2
-
x
1
4
（
x
+
x
1
）
=
x
2
-
x
1
4
x
+
x
1
（
x
2
-
x
1
）
4
+
x
1
2
4
=
x
2
-
x
1
4
x
+
x
1
x
2
4
∵x1?x2=-8，∴QN方程為
y
=
x
2
-
x
1
4
x
-
2
即直線QN方程恒過定點(diǎn)（0，-2）．
（法二）依題意知直線QN的斜率存在且不為0，
設(shè)直線QN方程為y=kx+b，Q（x1，y1），N（x2，y2），
則M（-x1，y1），
聯(lián)立
x 2 = 4 y |
y = kx + b |
∵Q，N是拋物線C上不同兩點(diǎn)，∴必有Δ＞0，
由韋達(dá)定理得
x 1 + x 2 = 4 k |
x 1 x 2 = - 4 b . |
∵M(jìn)，A，N三點(diǎn)共線，
AM
=
（
-
x
1
，
y
1
-
2
）
，
AN
=
（
x
2
，
y
2
-
2
）
∴-x1（y2-2）-x2（y1-2）=0．∴-x1（kx2+b-2）-x2（kx1+b-2）=0，
∴2kx1x2+（b-2）（x1+x2）=0，即2k?（-4b）+（b-2）?4k=0化簡(jiǎn)得：kb+2k=0，
∵k≠0，∴b=-2，
∴直線QN方程為y=kx-2，
∴直線QN恒過定點(diǎn)（0，-2）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：126引用：3難度：0.4
相似題
-
1．拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,A，B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AF⊥BF，P為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)P在l上的射影為Q，則
的最大值是（ ?。?/h2>|PQ||AB|發(fā)布：2024/12/29 5:30:3組卷：455引用：7難度：0.5 -
2．如圖，設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F，過x軸上一定點(diǎn)D（2，0）作斜率為2的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，記△BCF的面積為S1，△ACF的面積為S2，若，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ?。?/h2>S1S2=14發(fā)布：2024/12/17 0:0:2組卷：163引用：6難度：0.6 -
3．如圖，已知點(diǎn)P是拋物線C：y2=4x上位于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)M，N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M位于x軸上方），滿足PM⊥PN，AM⊥AN，線段PN分別交x軸正半軸、拋物線C于點(diǎn)D，Q，射線MP交x軸正半軸于點(diǎn)E．
（Ⅰ）若四邊形ANPM為矩形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）記△DOP，△DEQ的面積分別為S1，S2，求S1?S2的最大值．發(fā)布：2024/12/29 1:0:8組卷：91引用：2難度：0.4