一個數(shù)學(xué)興趣小組在上綜合與實踐課時發(fā)現(xiàn)：在大自然里，存在很多數(shù)學(xué)的奧秘，一片美麗的心形葉子、剛生長出的幼苗的部分輪廓線，可以近似的看作由拋物線的一部分沿直線折疊而成，如圖①與圖②所示．
【問題發(fā)現(xiàn)】如圖③，為了確定一片心形葉子的形狀，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)現(xiàn)心形葉子下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分，且過原點，求這個拋物線的表達式及頂點D的坐標(biāo)．
【問題探究】如圖③，心形葉片的對稱軸直線y=x+2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，直線x=6分別交拋物線和直線AB于點E，F(xiàn)，點E、E′是葉片上的一對對稱點，EE交直線AB于點G．求葉片此處的寬度EE′的長．
【拓展應(yīng)用】興趣小組同學(xué)在觀察某種幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線也可以看作是二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖象的一部分，如圖④，幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)“問題發(fā)現(xiàn)”中的二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5．若直線PD與水平線的夾角為45°，三天后，點D長到與點P同一水平位置的點D′時，葉尖Q落在射線OP上（如圖⑤所示）．求此時一片幼苗葉子的長度和最大寬度．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】點D（2，-1）；
【問題探究】5；
【拓展應(yīng)用】3；．
【問題探究】5
2
【拓展應(yīng)用】3
5
3
5
5
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/2 8:0:9組卷：526引用：3難度：0.3
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1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（3，0），將直線y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B、C兩點．
（1）求直線BC及拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/5/30 11:30:2組卷：257引用：4難度：0.5 -
2．如圖拋物線的對稱軸為直線x=-2，對稱軸與x軸交于點A，拋物線與y軸交于點B，點C，D為拋物線上的兩個動點，且點C在點D的右側(cè)，∠CAD=90°．y=15x2+bx-3
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式及線段AB的長；
（2）當(dāng)點C與點B重合時，直接寫出點D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點C不與點B重合時，且△CAD與（2）中的△CAD相似時，請直接寫出點C的橫坐標(biāo)．發(fā)布：2025/5/30 11:0:1組卷：277引用：1難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．且有OA=OC．
（1）求拋物線解析式；
（2）點P在拋物線的對稱軸上，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，求出點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點Q在拋物線的對稱軸上，并且有∠AQC=∠APC，直接寫出點Q的坐標(biāo)．12發(fā)布：2025/5/30 11:30:2組卷：274引用：1難度：0.3
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