閱讀理解：如果一個(gè)直角與一條折線相交形成一個(gè)封閉圖形，那么這條折線在封閉圖形上的部分就稱為這個(gè)角的“補(bǔ)美邊”．例如：圖1中∠QPK=90°，它與折線MNGH形成的“補(bǔ)美邊”有三條，分別是線段MN、NG和GH．
解決問題：
（1）如圖2，∠QPK與矩形ABCD形成“補(bǔ)美邊”，點(diǎn)P在邊AD上且AP=2．若已知矩形ABCD中AB=4，AD=8．分別記∠QPK的兩邊PQ和PK交矩形的邊于點(diǎn)E和點(diǎn)F，設(shè)∠APE=β，0≤β≤90°．
①若β=30°，求∠QPK“補(bǔ)美邊”的所有邊長之和；
②若∠QPK“補(bǔ)美邊”的所有邊長之和為9，求tanβ的值．
（2）如圖3，已知平行四邊形ABCD中∠B=60°，AB=6，BC=8．點(diǎn)P在邊AD上且AP=2，若∠QPK與平行四邊形ABCD形成“補(bǔ)美邊”的所有邊長之和為10，請直接寫出線段AE的長．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）①6+；
②tanβ=或2．
（2）3+．
2
3
3
②tanβ=
3
2
（2）3+
7
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：304引用：2難度：0.4
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1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BG+DH=HG，連接AH，AG分別交正方形ABCD的對角線BD于F，E兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有 .（填序號即可）
①∠DHA=∠GHA；②AF?AH=AE?AG；③BE+DF=EF；④AH=AE2發(fā)布：2025/5/24 5:30:2組卷：250引用：1難度：0.3 -
2．如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4．P為對角線BD上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M，PN⊥BD交BC于點(diǎn)N，Q是M關(guān)于PD的對稱點(diǎn)，連結(jié)PQ，QN．
（1）如圖2，當(dāng)Q落在BC上時(shí)，求證：BQ=MD．
（2）是否存在△PNQ為等腰三角形的情況？若存在，求MP的長；若不存在，請說明理由．
（3）若射線MQ交射線DC于點(diǎn)F，當(dāng)PQ⊥QN時(shí)，求DF：FC的值．
發(fā)布：2025/5/24 6:0:2組卷：366引用：3難度：0.1 -
3．四邊形ABCD為正方形，AB=8，點(diǎn)E為直線BC上一點(diǎn)，射線AE交對角線BD于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)G．
（1）如圖，點(diǎn)E在BC延長線上．求證：△CFG∽△EFC；
（2）是否存在點(diǎn)E，使得△CFG是等腰三角形？若存在，求BE的長；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/24 7:0:1組卷：57引用：1難度：0.1
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