已知橢圓C的離心率e=22，長軸的左右端點(diǎn)分別為A1（-2，0），A2（2，0）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線l：y=kx+b與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=2相交于點(diǎn)Q．求證：以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)N（1，0）．
2
2
2
2
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）
消去得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0，
∵曲線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴Δ=0，
可得b2=2k2+1（*），
設(shè)P（xP，yP），
∴，，∴．
又由
，∴Q（2，2k+b），
∵N（1，0），∴，
∴，∴PN⊥QN，
∴以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)N（1，0）．
x
2
2
+
y
2
=
1
（Ⅱ）
y = kx + b |
x 2 2 + y 2 = 1 |
∵曲線C與直線l只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴Δ=0，
可得b2=2k2+1（*），
設(shè)P（xP，yP），
∴
x
P
=
-
4
kb
2
（
2
k
2
+
1
）
=
-
2
k
b
y
P
=
k
x
P
+
b
=
1
b
P
（
-
2
k
b
，
1
b
）
又由
y = kx + b |
x = 2 |
∵N（1，0），∴
PN
=
（
1
+
2
k
b
，-
1
b
）
NQ
=
（
1
，
2
k
+
b
）
∴
PN
?
QN
=
1
+
2
k
b
-
2
k
b
-
1
=
0
∴以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)N（1，0）．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：112引用：3難度：0.5
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：103引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7