已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率e=2，P1，P2分別為其兩條漸近線上的點(diǎn)，若滿足P1P=PP2的點(diǎn)P在雙曲線上，且△OP1P2的面積為8，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的動(dòng)直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使MA?MB為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
e
=
2
P
1
P
=
P
P
2
MA
?
MB
【考點(diǎn)】雙曲線與平面向量．
【答案】（1）雙曲線的方程為：-=1；
（2）是，理由：
當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：x=my+4，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
，整理可得：（m2-1）y2+8my+8=0，可得m2≠1，Δ=64m2-32（m2-1）＞0恒成立，
且y1+y2=，y1y2=，
假設(shè)存在M（x0，0）滿足條件，
則?=（x1-x0，y1）（x2-x0，y2）=（x1-x0）（x2-x0）+y1y2=（my1+4-x0）（my2+4-x0）+y1y2=（1+m2）y1y2+（4-x0）m（y1+y2）+（4-x0）2=+m（4-x0）?）+（4-x0）2
==，
要使?為定值，則=，解得x0=2，
即M（2，0）滿足條件使得?=-8=-4為常數(shù)；
當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，則直線AB的方程為y=0，則A（-2，0），B（2，0），M（2，0），
可得?=（2+2，0）（2-2，0）=（2+2）（2-2）=22-（2）2=-4，也成立，
綜上所述：M（2，0）滿足?為常數(shù)-4．
x
2
8
y
2
8
（2）是，理由：
當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：x=my+4，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立
x = my + 4 |
x 2 - y 2 = 8 |
且y1+y2=
-
8
m
m
2
-
1
8
m
2
-
1
假設(shè)存在M（x0，0）滿足條件，
則
MA
MB
（
1
+
m
2
）
8
m
2
-
1
-
8
m
m
2
-
1
=
8
（
1
+
m
2
）
-
8
m
2
（
4
-
x
0
）
+
（
4
-
x
0
）
2
（
m
2
-
1
）
m
2
-
1
（
x
0
2
-
8
）
m
2
-
（
x
0
2
-
8
x
0
+
8
）
m
2
-
1
要使
MA
MB
x
0
2
-
8
1
x
0
2
-
8
x
0
+
8
1
即M（2，0）滿足條件使得
MA
MB
x
2
0
當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，則直線AB的方程為y=0，則A（-2
2
2
可得
MA
MB
2
2
2
2
2
綜上所述：M（2，0）滿足
MA
MB
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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