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試題詳情
過直角坐標平面xOy中的拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F作一條傾斜角為π4的直線與拋物線交于A、B兩點，證明：∠AOB的大小是與p無關的定值．
π
4
【考點】拋物線的焦點與準線．
【答案】證明：拋物線的焦點F（，0），直線AB的方程為：y=x-，即x-y-=0．
聯(lián)立方程組
，消元可得：x2-3px+=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=3p，x1x2=，
∴|AB|=x1+x2+p=4p，|OA|==，|OB|=，
∴cos∠AOB===-=-．
∴∠AOB的大小是與p無關的定值．
p
2
p
2
p
2
聯(lián)立方程組
x - y - p 2 = 0 |
y 2 = 2 px |
p
2
4
設A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=3p，x1x2=
p
2
4
∴|AB|=x1+x2+p=4p，|OA|=
x
1
2
+
y
1
2
x
1
2
+
2
p
x
1
x
2
2
+
2
p
x
2
∴cos∠AOB=
O
A
2
+
O
B
2
-
A
B
2
2
OA
?
OB
x
1
2
+
x
2
2
+
2
p
（
x
1
+
x
2
）
-
16
p
2
2
x
1
2
x
2
2
+
2
p
x
1
x
2
（
x
1
+
x
2
）
+
4
p
2
x
1
x
2
3
2
p
2
41
p
2
2
3
41
∴∠AOB的大小是與p無關的定值．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/23 20:38:36組卷：28引用：1難度：0.9