已知拋物線C：y2=2x,過點（2，0）的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．
（1）證明：坐標原點O在圓M上；
（2）設(shè)圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程．
【考點】直線與拋物線的綜合．
【答案】（1）證明：當直線l的斜率不存在時，則A（2，2），B（2，-2），
則=（2，2），=（2，-2），則?=0，
∴⊥，
則坐標原點O在圓M上；
當直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：k2x2-（4k2+2）x+4k2=0，
則x1x2=4，4x1x2==（y1y2）2，由y1y2＜0，
則y1y2=-4，
由?=x1x2+y1y2=0，
則⊥，則坐標原點O在圓M上，
綜上可知：坐標原點O在圓M上；
（2）（x-）2+（y+）2=，或（x-3）2+（y-1）2=10．
則
OA
OB
OA
OB
∴
OA
OB
則坐標原點O在圓M上；
當直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），
y = k （ x - 2 ） |
y 2 = 2 x |
則x1x2=4，4x1x2=
y
2
1
y
2
2
則y1y2=-4，
由
OA
OB
則
OA
OB
綜上可知：坐標原點O在圓M上；
（2）（x-
9
4
1
2
85
16
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：4804引用：8難度：0.4
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1．拋物線x2=4y的焦點為F，準線為l,A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足AF⊥BF，P為線段AB的中點，設(shè)P在l上的射影為Q，則
的最大值是（ ?。?/h2>|PQ||AB|發(fā)布：2024/12/29 5:30:3組卷：455引用：7難度：0.5 -
2．如圖，設(shè)拋物線y2=2px的焦點為F，過x軸上一定點D（2，0）作斜率為2的直線l與拋物線相交于A，B兩點，與y軸交于點C，記△BCF的面積為S1，△ACF的面積為S2，若，則拋物線的標準方程為（ ?。?/h2>S1S2=14發(fā)布：2024/12/17 0:0:2組卷：163引用：6難度：0.6 -
3．如圖，已知點P是拋物線C：y2=4x上位于第一象限的點，點A（-2，0），點M，N是y軸上的兩個動點（點M位于x軸上方），滿足PM⊥PN，AM⊥AN，線段PN分別交x軸正半軸、拋物線C于點D，Q，射線MP交x軸正半軸于點E．
（Ⅰ）若四邊形ANPM為矩形，求點P的坐標；
（Ⅱ）記△DOP，△DEQ的面積分別為S1，S2，求S1?S2的最大值．發(fā)布：2024/12/29 1:0:8組卷：91引用：2難度：0.4