圖1是一個(gè)長(zhǎng)方形窗戶ABCD，它是由上下兩個(gè)長(zhǎng)方形（長(zhǎng)方形AEFD和長(zhǎng)方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個(gè)小窗戶上各安裝了一個(gè)可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個(gè)遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF=a,BE=2b），其中a＞b＞0．當(dāng)遮陽簾沒有拉伸時(shí)（如圖1），若窗框的面積不計(jì)，則窗戶的透光面積就是整個(gè)長(zhǎng)方形窗戶（即長(zhǎng)方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平向左拉伸2a至GH．當(dāng)下面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2b時(shí)，恰好與GH在同一直線上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線上）．
（1）求長(zhǎng)方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的多項(xiàng)式表示）
（2）如果上面窗戶的遮陽簾保持圖2的位置不動(dòng)，當(dāng)下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點(diǎn)處時(shí)，請(qǐng)通過計(jì)算比較窗戶的透光面積S1與被遮陽簾遮住的面積S2的大??；
（3）如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至GD=23AD，下面窗戶的遮陽簾拉伸至BP=25BC處時(shí)，窗戶的透光面積恰好為長(zhǎng)方形窗戶ABCD面積一半，求代數(shù)式-a2+12b-40的最值．
GD
=
2
3
AD
BP
=
2
5
BC
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）2a2+6ab+4b2；
（2）S1＜S2；
（3）代數(shù)式-a2+12b-40有最大值-15．
（2）S1＜S2；
（3）代數(shù)式-a2+12b-40有最大值-15．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/10/16 3:0:2組卷：58引用：1難度：0.5
相似題
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1．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖①，當(dāng)AD與邊BC相交，點(diǎn)D與點(diǎn)F在直線AC的兩側(cè)時(shí)，BD與CF的數(shù)量關(guān)系為．
（2）將圖①中的菱形ADEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），如圖②．
Ⅰ．判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②證明你的結(jié)論．
Ⅱ．若AC=4，AD=6，當(dāng)△ACE為直角三角形時(shí)，直接寫出CE的長(zhǎng)度．發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：365引用：4難度：0.1 -
2．探究問題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
證明：延長(zhǎng)CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．
變化：在圖①中，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．12
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足∠EAF=∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫出你的猜想（不必說明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關(guān)系：．12發(fā)布：2025/6/24 19:0:1組卷：881引用：1難度：0.1 -
3．如圖，四邊形ABCD是正方形，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接BE、CE、DE、BF、CF、EF．
（1）若∠EDC=∠FBC，ED=FB，試判斷△ECF的形狀，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時(shí)，求BE：BF的值．
（3）在（2）的條件下，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（3+3）cm,∠EDC=30°，求△BCF的面積．7發(fā)布：2025/6/24 17:30:1組卷：59引用：1難度：0.5