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試題詳情
設拋物線C：y2=4x焦點為F，直線l與C交于A，B兩點．
（1）若1過F且斜率為1，求|AB|；
（2）若不過坐標原點O，且OA⊥OB，證明：直線l過定點．
【考點】拋物線的焦點與準線．
【答案】（1）8；
（2）證明：直線l的斜率不為0時，可設直線l的方程為x=my+a（a≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）；
由
，消去x，得y2-4my-4a=0，
則y1y2=-4a；
又x1=，x2=，
∴x1x2===a2，
又∵OA⊥OB，
∴?=x1x2+y1y2=0，
即a2-4a=0，
又∵a≠0，∴a=4；
∴直線l：x=my+4恒過定點M（4，0）．
（2）證明：直線l的斜率不為0時，可設直線l的方程為x=my+a（a≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）；
由
x = my + a |
y 2 = 4 x |
則y1y2=-4a；
又x1=
y
1
2
4
y
2
2
4
∴x1x2=
（
y
1
y
2
）
2
16
（
-
4
a
）
2
16
又∵OA⊥OB，
∴
OA
OB
即a2-4a=0，
又∵a≠0，∴a=4；
∴直線l：x=my+4恒過定點M（4，0）．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/23 20:38:36組卷：299引用：3難度：0.5