小輝同學(xué)觀看2022卡塔爾世界杯時(shí)發(fā)現(xiàn)，優(yōu)秀的球員通常都能選擇最優(yōu)的點(diǎn)射門（僅從射門角度大小考慮）．這引起了小輝同學(xué)的興趣，于是他展開了一次有趣的數(shù)學(xué)探究．
【提出問題】如圖1所示．球員帶球沿直線BC奔向球門PQ，
探究：是否存在一個(gè)位置，使得射門角度最大．
【分析問題】因?yàn)榫€段PQ長度不變，我們聯(lián)想到圓中的弦和圓周角．
如圖2，射線BC與⊙O相交，點(diǎn)M，點(diǎn)A，點(diǎn)N分別在圓外、圓上、圓內(nèi)，連接NP，NQ，AP，AQ，MP，MQ．
【解決問題】
（1）如圖2，比較∠PMQ、∠PAQ、∠PNQ的大?。?!--BA-->∠PMQ＜∠PAQ＜∠PNQ∠PMQ＜∠PAQ＜∠PNQ（用“＜”連接起來）．
（2）如圖3，點(diǎn)A是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A不與點(diǎn)B重合）．證明：當(dāng)△APQ的外接圓⊙O與射線BC相切時(shí)，∠PAQ最大．
（3）【延伸拓展】在（2）的條件下，如果PQ=4，PB=5，tanB=2．當(dāng)∠PAQ最大時(shí)．證明：∠PAQ=90°-∠B．
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】∠PMQ＜∠PAQ＜∠PNQ
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：164引用：2難度：0.1
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1．已知，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)M是優(yōu)弧CBD上的任意一點(diǎn)，AH=2，CH=4．
（1）如圖1，
①求⊙O的半徑；
②求sin∠CMD的值．
（2）如圖2，直線BM交直線CD于點(diǎn)E，直線MH交⊙O于點(diǎn)N，連結(jié)BN交CD于點(diǎn)F，求HE?FH的值．發(fā)布：2025/6/7 7:0:1組卷：476引用：2難度：0.3 -
2．如圖，四邊形OABC中，AO∥BC，∠AOC=90°，AO=3，AB=5．以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且與BA的延長線交于F．延長AO交圓于E，連接FC交AE于點(diǎn)D．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求cos∠FAE的值；
（3）求線段OD的長．發(fā)布：2025/6/7 5:0:1組卷：79引用：1難度：0.3 -
3．等腰三角形AFG中AF=AG，且內(nèi)接于圓O，D、E為邊FG上兩點(diǎn)（D在F、E之間），分別延長AD、AE交圓O于B、C兩點(diǎn)（如圖1），記∠BAF=α，∠AFG=β．
（1）求∠ACB的大小（用α，β表示）；
（2）連接CF，交AB于H（如圖2）．若β=45°，且BC×EF=AE×CF．求證：∠AHC=2∠BAC；
（3）在（2）的條件下，取CH中點(diǎn)M，連接OM、GM（如圖3），若∠OGM=2α-45°，
①求證：GM∥BC，GM=BC；12
②請直接寫出的值．OMMC
發(fā)布：2025/6/7 16:0:2組卷：1490引用：8難度：0.1
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