在平面上畫互相垂直的兩組平行線，相鄰平行線的距離都等于1，這兩組平行線的交點稱為“格點”，以格點為頂點的三角形稱為“格點三角形”，如圖1．關(guān)于格點三角形的面積S，有一個著名的Pick定理：S=I+12B-1，其中I，B分別表示三角形內(nèi)部與周界上的格點數(shù)．
（1）閱讀
我們把互相垂直的其中兩對平行線圍成的矩形稱為“格點矩形”，如圖2，可驗證Pick定理對格點矩形成立．設(shè)矩形ABCD的邊AB，AD上分別有m,n個格點（不包括端點），并記矩形內(nèi)部和周界上的格點數(shù)分別為I0，B0，則I0=mn,B0=2（m+n）+4，AB=m+1，AD=n+1.I0+12B0-1=mn+12[2（m+n）+4]-1=mn+m+n+1=（m+1）（n+1） =SABCD.
完成下列兩題的證明
（2）任何一個格點三角形都可以內(nèi)接在一個格點矩形中，使三角形至少有一個頂點恰好是矩形的頂點．
圖3是最簡單的情形．設(shè)邊AC上的格點數(shù)為k（不包括端點），請用I0，B0和k分別表示△ABC內(nèi)部和周界上的格點數(shù)，并利用（1）的結(jié)論證明：對于△ABC，Pick定理成立．
（3）請利用（2）的結(jié)論證明：對于圖4所示的△ABC，Pick定理也成立．
S
=
I
+
1
2
B
-
1
I 0 + 1 2 B 0 - 1 = mn + 1 2 [ 2 （ m + n ） + 4 ] - 1 = mn + m + n + 1 = （ m + 1 ） （ n + 1 ） |
= S ABCD . |
【考點】四邊形綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：37引用：1難度：0.5
相似題
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1．【問題提出】
（1）如圖①，矩形DEFG的四個頂點都在△ABC的三條邊上，其中S△ABC=15，BC=6，DE=4，求矩形DEFG的面積；
【問題解決】
（2）小紅同學參加了物理課外興趣小組．圖②是其制作的一個光電感應裝置在某時刻的平面情景圖，在邊長為20cm的正方形ABCD中，P為AB的中點，點P位置是一個激光發(fā)射器，可以左右來回180°轉(zhuǎn)動，同時在正方形ABCD內(nèi)發(fā)出兩條互相垂直的藍色光線PE、PF，點E、F是落在AD、DC、CB三邊上的兩個光點，E、F、P三點會在正方形ABCD內(nèi)自動感應出一個發(fā)光△PEF，請問在激光器轉(zhuǎn)動發(fā)射的過程中，形成的△PEF面積有無最大值，如果有，請求出這個最大值；如果沒有，請說明理由．
發(fā)布：2025/6/2 4:0:1組卷：124引用：3難度：0.3 -
2．如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分線AO交BC于點D，點H為AO上一動點，過點H作直線l⊥AO于點H，分別交直線AB、AC、BC于點N、E、M．
（1）如圖1，當點M與點C重合時，求證：BN=CD；
（2）如圖2，當點M在BC的延長線上時，BN、CE、CD之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
發(fā)布：2025/6/2 3:30:1組卷：185引用：1難度：0.3 -
3．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，動點P從點A出發(fā)，沿折線AC-CB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．D是AB的中點，以PA、AD為鄰邊作?APED．設(shè)點P的運動時間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段PC的長．
（2）當點E落在邊BC上時，求t的值．
（3）當點P在線段AC上運動時，連結(jié)PD，若△APD為鈍角三角形，求t的取值范圍．
（4）當點E到△ABC的一條直角邊和斜邊所在的直線距離相等時，直接寫出t的值．發(fā)布：2025/6/2 3:0:1組卷：315引用：4難度：0.1
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