已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)A（32，52），兩個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），（0，-2），E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：直線EF的斜率為定值．
3
2
，
5
2
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）+=1；
（2）證明：設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），設(shè)直線AE的方程為y=k（x-）+，代入+=1得（3k2+5）x2+3k（5-3k）x+3（-k+）2-30=0，
∴x1=-，
∴y1=kx1-k+，
又直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，再上式中以-k代k，可得
x2=-，
∴y2=kx2-k+，
∴直線EF的斜率k===1．
y
2
10
x
2
6
（2）證明：設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），設(shè)直線AE的方程為y=k（x-
3
2
5
2
y
2
10
x
2
6
3
2
3
2
∴x1=
3
k
（
3
k
-
5
）
3
k
2
+
5
3
2
∴y1=kx1-
3
2
5
2
又直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，再上式中以-k代k，可得
x2=
9
k
2
+
30
k
-
15
6
k
2
+
10
3
2
∴y2=kx2-
3
2
5
2
∴直線EF的斜率k=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
-
k
（
x
1
+
x
2
）
+
3
k
x
2
-
x
1
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：96引用：4難度：0.5
相似題
-
1．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4525引用：26難度：0.3 -
2．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6