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2008-2009學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三（下）4月短卷訓(xùn)練數(shù)學(xué)試卷（文科）（3）>
試題詳情
已知圓O的方程為x2+y2=1，直線l1過(guò)點(diǎn)A（3，0），且與圓O相切．
（1）求直線l1的方程；
（2）設(shè)圓O與x軸相交于P，Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P，Q的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點(diǎn)P′，直線QM交直線l2于點(diǎn)Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用．
【答案】（1）或；
（2）圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)．
證明：對(duì)于圓O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l2方程為x=3，設(shè)M（s，t），則直線PM方程為．
解方程組
，得，
同理可得：．
所以圓C的圓心C的坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為，
又點(diǎn)M（s，t）在圓上，又s2+t2=1．故圓心C為，半徑長(zhǎng)．
所以圓C的方程為，
即=0
即，
又s2+t2=1
故圓C的方程為，
令y=0，則（x-3）2=8，
所以圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，y=0，則x=，
所以圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)坐標(biāo)為．
2
x
-
4
y
-
3
2
=
0
2
x
+
4
y
-
3
2
=
0
（2）圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)
（
3
±
2
2
，
0
）
證明：對(duì)于圓O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直線l2方程為x=3，設(shè)M（s，t），則直線PM方程為
y
=
t
s
+
1
（
x
+
1
）
解方程組
x = 3 |
y = t s + 1 （ x + 1 ） |
P
/
（
3
，
4
t
s
+
1
）
同理可得：
Q
/
（
3
，
2
t
s
-
1
）
所以圓C的圓心C的坐標(biāo)為
（
3
，
3
st
-
t
s
2
-
1
）
|
st
-
3
t
s
2
-
1
|
又點(diǎn)M（s，t）在圓上，又s2+t2=1．故圓心C為
（
3
，
1
-
3
s
t
）
|
3
-
s
t
|
所以圓C的方程為
（
x
-
3
）
2
+
（
y
-
1
-
3
s
t
）
2
=
（
3
-
s
t
）
2
即
（
x
-
3
）
2
+
y
2
-
2
（
1
-
3
s
）
y
t
+
（
1
-
3
s
）
2
t
2
-
（
3
-
s
）
2
t
2
即
（
x
-
3
）
2
+
y
2
-
2
（
1
-
3
s
）
y
t
+
8
（
s
2
-
1
）
t
2
=
0
又s2+t2=1
故圓C的方程為
（
x
-
3
）
2
+
y
2
-
2
（
1
-
3
s
）
y
t
-
8
=
0
令y=0，則（x-3）2=8，
所以圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，y=0，則x=
3
±
2
2
所以圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)坐標(biāo)為
（
3
±
2
2
，
0
）
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：289引用：20難度：0.3
相似題
-
1．已知圓C1：（x-4）2+（y-2）2=20與y軸交于O，A兩點(diǎn)，圓C2過(guò)O，A兩點(diǎn)，且直線C2O與圓C1相切；
（1）求圓C2的方程；
（2）若圓C2上一動(dòng)點(diǎn)M，直線MO與圓C1的另一交點(diǎn)為N，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)P使得PM=PN始終成立，若存在求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．發(fā)布：2024/10/16 15:0:1組卷：547引用：7難度：0.3 -
2．已知直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2+y2=16．
①過(guò)點(diǎn)P（4，2）作圓O的切線m,求m的方程；
②直線l：y=kx+b與圓O交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，已知T（8，0），若x軸平分∠MTN，證明：不論k取何值，直線l與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．發(fā)布：2024/9/25 3:0:1組卷：148引用：2難度：0.6 -
3．若直線ax+y=0始終平分圓x2+y2-2ax+2ay+2a2+a-1=0的周長(zhǎng)，則a的值為（ ?。?/h2>
發(fā)布：2024/12/8 10:30:3組卷：358引用：2難度：0.8