2022-2023學年上海市奉賢中學高一（下）期中數(shù)學試卷

一、填空題（1-6每小題4分，7-12每小題4分，共54分）

• 1．已知扇形的半徑為10，圓心角為2rad,則扇形的弧長為

  ．
  組卷：50引用：3難度：0.8

  解析

• 2．已知向量

  a

  ，

  b

  方向相反，且

  |

  a

  |

  =

  4

  ，

  |

  b

  |

  =

  5

  ，則

  a

  在

  b

  方向上的數(shù)量投影為

  ．
  組卷：200引用：2難度：0.7

  解析

• 3．在平面直角坐標系xOy中，若角θ的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與以點O為圓心的圓交于點

  P

  （

  1

  ，

  3

  ）

  ，則

  cos

  （

  π

  2

  -

  θ

  ）

  =

  ．
  組卷：31引用：4難度：0.7

  解析

• 4．函數(shù)

  y

  =

  2

  sin

  （

  x

  -

  π

  4

  ）

  ，x∈[0，π]的增區(qū)間為

  ．
  組卷：95引用：2難度：0.7

  解析

• 5．函數(shù)y=sinx-cosx的最小正周期是

  ．
  組卷：38引用：2難度：0.9

  解析

• 6．已知向量

  a

  =（2，-6），

  b

  =（3，m），若|

  a

  +

  b

  |=|

  a

  -

  b

  |，則m=

  ．
  組卷：520引用：9難度：0.7

  解析

• 7．函數(shù)

  y

  =

  sin

  （

  2

  x

  +

  π

  3

  ）

  在

  x

  ∈

  [

  0

  ，

  π

  3

  ]

  上的值域為

  ．
  組卷：492引用：4難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題有5小題，共78分，14+14+14+18+18）

• 20．如圖所示是某斜拉式大橋圖片，為了解橋的一些結構情況，學校數(shù)學興趣小組將大橋的結構進行了簡化，取其部分可抽象成圖（1）所示的模型，其中橋塔AB、CD與橋面AC垂直，通過測量得知AB=50m,AC=50m,當P為AC中點時，∠BPD=45°．
  
  （1）求CD的長；
  （2）設AP=x,寫出tan∠BPD與x的函數(shù)關系式；
  （3）已知命題：函數(shù)y=tanx在

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  內為嚴格增函數(shù)；求證該命題為真命題，并用該命題求解P在線段AC的何處時，∠BPD達到最大，最大值為多少？
  組卷：46引用：3難度：0.4

  解析

• 21．已知函數(shù)y=f（x），若存在實數(shù)m、k（m≠0），使得對于定義域內的任意實數(shù)x,均有m?f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，則稱函數(shù)f（x）為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對（m,k）稱為函數(shù)f（x）的“平衡”數(shù)對．
  （1）若f（x）=x²，求函數(shù)f（x）的“平衡”數(shù)對；
  （2）若m=1，判斷f（x）=sinx是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；
  （3）若m₁、m₂∈R，且

  （

  m

  1

  ，

  π

  2

  ）

  、

  （

  m

  2

  ，

  π

  4

  ）

  均為函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  co

  s

  2

  x

  （

  0

  ＜

  x

  ≤

  π

  4

  ）

  的“平衡”數(shù)對，求

  m

  2

  1

  +

  m

  2

  2

  的取值范圍．
  組卷：50引用：14難度：0.6

  解析