點P是平行四邊形ABCD的對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F．點O為AC的中點．
（1）如圖1，當(dāng)點P與點O重合時，線段OE和OF的關(guān)系是 OE=OFOE=OF；
（2）當(dāng)點P運動到如圖2所示的位置時，
請在圖中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？
（3）如圖3，點P在線段OA的延長線上運動，當(dāng)∠OEF=30°，AE=1，CF=3時，求線段OE的長．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】OE=OF
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：360引用：3難度：0.1
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1．問題背景
定義：若兩個等腰三角形有公共底邊，且兩個頂角的和是180°，則稱這兩個三角形是關(guān)于這條底邊的互補三角形．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB=AC，DB=DC，且∠A+∠D=180°，則△ABC與△DBC是關(guān)于BC的互補三角形．
（1）初步思考：如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E為△ABC外兩點，EB=EC，∠EBC=45°，△DBC為等邊三角形．則△ABC關(guān)于BC的互補三角形是 ，并說明理由．
（2）實踐應(yīng)用：如圖3，在長方形ABCD中，AB=8，AD=10．點E在AB邊上，點F在AD邊上，若△BEF與△BCF是關(guān)于BF互補三角形，試求AE的長．
（3）思維探究：如圖4，在長方形ABCD中，AB=8，AD=10．點E是線段AB上的動點，點P是平面內(nèi)一點，△BEP與△BCP是關(guān)于BP的互補三角形，直線CP與直線AD交于點F．在點E運動過程中，線段BE與線段AF的長度是否會相等？若相等，請直接寫出AE的長；若不相等，請說明理由．發(fā)布：2025/6/2 17:30:1組卷：304引用：5難度：0.3 -
2．如圖1，在正方形ABCD中，M、N分別為邊AB、AD上的點，連接CM、CN，且CM=CN．
（1）求證：△BMC≌△DNC；
（2）如圖2，若P是邊BC上的點，且NP⊥CM于O，連接OA，求證：OM+ON=OA；2
（3）如圖3，在滿足（2）的條件下，過O作OQ⊥BC于Q，若AM=2BM，求的值．OQCD
發(fā)布：2025/6/2 16:0:1組卷：755引用：4難度：0.4 -
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，OA=8，OC=4，點P為對角線AC上一動點，過點P作PQ⊥PB，PQ交x軸于點Q．
（1）tan∠ACB=；
（2）在點P從點C運動到點A的過程中，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請求出其變化范圍；如果不變，請求出其值；PQPB
（3）若將△QAB沿直線BQ折疊后，點A與點P重合，求PC的長．
發(fā)布：2025/6/2 13:30:2組卷：504引用：2難度：0.4
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