如圖，AB是半圓O的直徑，點C是半圓上一點（不與點A，B重合），連接AC，BC．點P為線段AB延長線上一點，連接PC，∠CAB=∠BCP．
（1）求證：PC為⊙O的切線；
（2）作∠CPB的角平分線，交AC于點M，交BC于點N．
①請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；
②若∠CPB=30°，NC=3，求MN的長．
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）①作圖過程見解答；
②3．
（2）①作圖過程見解答；
②3
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/5/22 22:0:2組卷：540引用：6難度：0.6
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1．已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB=AC．
求作：點P，使得AP=AB，且∠APC=∠BAC．
作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；
②以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交⊙A于點D（異于點C）；
③連接DA并延長交⊙A于點P．
所以點P就是所求作的點．
（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：連接PC．
∵AB=AC，
∴點C在⊙A上．
∵=?DC，?DC
∴∠DPC=∠DAC（ ）（填推理的依據(jù)），12
由作圖可知，=?BD，?BC
∴∠DAB==∠DAC．12
∴∠APC=∠BAC．發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：208引用：5難度：0.5 -
2．如圖，在△ABC中，點D在BC邊上．請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點E，使得DE∥AB．（保留作圖痕跡，不寫作法）發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：58引用：1難度：0.5 -
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點P，使得∠APB=120°（保留作圖痕跡，不寫作法）發(fā)布：2025/5/23 8:30:2組卷：274引用：2難度：0.6
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