在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=-x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C．二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象過B，C兩點，且與x軸交于另一點A，點M為線段OB上的一個動點（不與端點O，B重合）．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）如圖①，過點M作y軸的平行線l交BC于點F，交二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象于點E，記△CEF的面積為S1，△BMF的面積為S2，當S1S2=12時，求點E的坐標；
（3）如圖②，連接CM，過點M作CM的垂線l1，過點B作BC的垂線l2，l1與l2交于點G，試探究CGCM的值是否為定值？若是，請求出CGCM的值；若不是，請說明理由．
S
1
S
2
=
1
2
CG
CM
CG
CM
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；
（2）E（1，4）；
（3）是，定值為．
（2）E（1，4）；
（3）是，定值為
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：1340引用：5難度：0.4
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1．拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸正半軸于點C，且OB=OC．
（1）如圖1，已知C（0，3），①請直接寫出a,b,c的值；②連接AC、BC，P為BC上方拋物線上的一點，連接AP交BC于點M，若AC=AM，求點P的坐標；
（2）如圖2，已知OB=1，D為第三象限拋物線上一動點，直線DO交拋物線于另一點E，EF∥y軸交直線DC于點F，連接BF，求出CF+BF的最小值及此時點D的坐標．發(fā)布：2025/6/6 7:30:2組卷：532引用：3難度：0.4 -
2．如圖拋物線 y=-x2+bx+c 交x軸于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標；
（2）過定點（1，3）的直線l：y=kx+b與二次函數(shù)的圖象相交于M，N兩點．
①若 S△PMN=2，求k的值；
②證明：無論k為何值，△PMN恒為直角三角形．發(fā)布：2025/6/6 5:30:2組卷：187引用：1難度：0.2 -
3．如圖，拋物線C1：y1=ax2+2ax（a＞0）與x軸交于點A，頂點為點P．
（1）直接寫出拋物線C1的對稱軸是 ，用含a的代數(shù)式表示頂點P的坐標 ；
（2）把拋物線C1繞點M（m,0）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2（其中m≥0），拋物線C2與x軸右側(cè)的交點為點B，頂點為點Q．
①如圖1，當m=0時，求AB的值；
②若m=2，是否存在△ABP為等腰三角形，若存在請求出a的值，若不存在，請說明理由；
③當四邊形APBQ為矩形時，請求出m與a之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出當a=3時矩形APBQ的面積．
發(fā)布：2025/6/6 8:30:1組卷：19引用：2難度：0.2
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