工人師傅有一塊不規(guī)則的模板，他已經(jīng)在模板上畫出了一條裁割線AB，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，需要通過AB上一點(diǎn)C，作AB的垂線，進(jìn)行裁割，但手頭沒有直角尺，怎么辦呢？
方法一：如圖1，取卷尺在AB上量出CD=30cm,然而分別以D，C為圓心，以50cm與40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作直線CE，則∠DCE=90°；
方法二：如圖2，在繩子EF上割取任意長度a,一端記點(diǎn)P，另一端記為點(diǎn)Q，將P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，按如圖位置擺放，然后以Q為圓心，PQ的長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)R，連接RQ，并延長到點(diǎn)M使得QM=QR，連接CM，則∠MCR=90°．
任務(wù)：（1）方法一依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理．
（2）利用方法2，證明∠MCR=90°；
（3）方法三，尺規(guī)作圖：如圖3，請?jiān)谀景迳希^點(diǎn)C作出AB的垂線l（保留作圖痕跡，不寫作法）．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】勾股定理的逆定理
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/9/6 3:0:8組卷：81引用：1難度：0.5
相似題
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1．如圖，△ABC中，CA=CB、∠ACB=α，過點(diǎn)B作直線l∥AC，D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將射線DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，交直線l于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線段CD和ED的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）如圖2，當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）若α=120°，AC=，當(dāng)△DEB為直角三角形時(shí)，請直接寫出線段DE的長．3發(fā)布：2025/5/24 1:30:2組卷：55引用：1難度：0.1 -
2．綜合與實(shí)踐
問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，AE⊥BD于F交BC于E，∠ABD=2∠CAE．求證AB=BD．
獨(dú)立思考：（1）請解答王師提出的問題．
實(shí)踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面條件，并提出新問題，請你解答．“如圖2，作EG⊥AC于點(diǎn)G，若AE=BD，探究線段AD與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．”
問題解析：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，連接CF，若給出DE的值，則可求出CF的值．該小組提出下面的問題，請你解答．”
如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)G重合時(shí)，連接CF，若DE=，求CF的長”．5
發(fā)布：2025/5/24 4:30:1組卷：884引用：1難度：0.2 -
3．數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通往數(shù)學(xué)之源、數(shù)學(xué)之品、數(shù)學(xué)之用、數(shù)學(xué)之奇、數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之謎的創(chuàng)造之門，小瑞同學(xué)是一位數(shù)學(xué)“小迷神”，酷愛做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，今天特邀大家和他做如下實(shí)驗(yàn)，并回答相關(guān)問題：
小瑞把兩塊完全相同的三角板按圖1方式擺放，其中△ABC≌△EFD，∠BAC=∠FED=60°，BC⊥AC，ED⊥FD，AB=EF=12cm,AC在直線MN上，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合．
（1）∠CAE=，BD=cm
（2）小瑞將三角板FDE的直角頂點(diǎn)D沿DA方向滑動(dòng)，同時(shí)頂點(diǎn)F沿AN方向在射線AN上滑動(dòng)，如圖2．
①當(dāng)點(diǎn)D恰好是線段AB中點(diǎn)時(shí)，求∠ADF的度數(shù)．
②當(dāng)點(diǎn)D從初始位置滑動(dòng)到點(diǎn)A處時(shí)，求點(diǎn)E所經(jīng)過的路徑長；
（3）在（2）中，過點(diǎn)D、F分別作AB、AF的垂線，兩條垂線相交于點(diǎn)P，連接AP，線段AP的長度是否為定值？如果是，請直接寫出結(jié)果；如果不是，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/24 5:0:1組卷：286引用：1難度：0.3