已知直線(xiàn)l：y=x+2與雙曲線(xiàn)C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1，3）．
（1）求雙曲線(xiàn)C的離心率；
（2）設(shè)雙曲線(xiàn)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|BF|?|DF|=17，試判斷△ABD是否為直角三角形，并說(shuō)明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合；雙曲線(xiàn)的幾何特征．
【答案】（Ⅰ）2；
（Ⅱ）是；
由①、②知，C的方程為：3x2-y2=3a2，
A（a，0），F(xiàn)（2a，0），x1+x2=2，x1?x2=-，
故不妨設(shè)x1≤-a，x2≥a，
==a-2x1，
=2x2-a，
|BF|?|FD|=（a-2x1）（2x2-a）=-4x1x2+2a（x1+x2）-a2=5a2+4a+8，
又|BF|?|FD|=17，
故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），
故|BD|===6，
連結(jié)MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
從而MA=MB=MD，
且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，且在點(diǎn)A處與x軸相切．
所以過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切．∴△ABD為直角三角形．
（Ⅱ）是；
由①、②知，C的方程為：3x2-y2=3a2，
A（a，0），F(xiàn)（2a，0），x1+x2=2，x1?x2=-
4
+
3
a
2
2
＜
0
故不妨設(shè)x1≤-a，x2≥a，
|
BF
|
=
（
x
1
-
2
a
）
2
+
y
2
1
（
x
1
-
2
a
）
2
+
3
x
2
1
-
3
a
2
|
FD
|
=
（
x
2
-
2
a
）
2
+
y
2
2
=
（
x
2
-
2
a
）
2
+
3
x
2
2
-
3
a
2
|BF|?|FD|=（a-2x1）（2x2-a）=-4x1x2+2a（x1+x2）-a2=5a2+4a+8，
又|BF|?|FD|=17，
故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=
-
9
5
故|BD|=
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
2
4
+
4
×
7
2
連結(jié)MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，
從而MA=MB=MD，
且MA⊥x軸，因此以M為圓心，MA為半徑的圓經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，且在點(diǎn)A處與x軸相切．
所以過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切．∴△ABD為直角三角形．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：119引用：4難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)的離心率e；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線(xiàn)E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線(xiàn)l與（2）中雙曲線(xiàn)E相交于不同于雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線(xiàn)C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）過(guò)F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：103引用：1難度：0.9 -
3．若過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線(xiàn)有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7