如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=2，OB=4，OC=8，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）D為CO的中點，一個動點G從D點出發(fā)，先到達x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標，并求出最短路程．
（4）點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰Rt△CQR？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=-x2+2x+8；
（2）存在，點P的坐標為（1，8）或（1，）；
（3）點E、F的坐標分別為（，0）、（1，2）；最短路程為2；
（4）存在，點Q的坐標為（，）或（，）．
（2）存在，點P的坐標為（1，8）或（1，
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2
（3）點E、F的坐標分別為（
2
3
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（4）存在，點Q的坐標為（
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-
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2
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2
1
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【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：1727引用：5難度：0.3
相似題
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1．綜合與探究
如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B，C的坐標分別為（2，0），（0，3），點D與點C關(guān)于x軸對稱，P是直線AC上方拋物線上一動點，連接PD、交AC于點Q．12
（1）求拋物線的函數(shù)表達式及點A的坐標；
（2）在點P運動的過程中，求PQ：DQ的最大值；
（3）在y軸上是否存在點M，使∠AMB=45°？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/25 14:0:1組卷：951引用：4難度：0.1 -
2．已知拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，直線l與拋物線交于A，D兩點，點D的坐標為（4，5），與y軸交于點E．
（1）求A，B兩點的坐標及直線l的解析式；
（2）若點P在直線l下方拋物線上，過點P作PM⊥x軸于點M，直線PM與直線l交于點N，當點M是PN的三等分點時，求點P的坐標；
（3）若點H是拋物線y=x2-2x-3對稱軸上的一點，且∠AHD=45°，請直接寫出點H的坐標．發(fā)布：2025/5/25 14:0:1組卷：103引用：2難度：0.2 -
3．在平面直角坐標系中，直線y=-x-2與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，二次函數(shù)y=ax2-2x-c的圖象過A，B兩點．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）點C是拋物線對稱軸l上一點，點D在拋物線上，若以點C、D、A為頂點的三角形與△AOB全等，求滿足條件的點D、點C的坐標．發(fā)布：2025/5/25 14:0:1組卷：109引用：1難度：0.2
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