如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD⊥DE，DF平分∠ADE交AB于點(diǎn)G，∠ADF=∠AEF．
（1）求證：△EDF∽△GEF；
（2）求證：BD是以AE為直徑的圓的切線；
（3）若tan∠AED=2，EF=210，求線段DF的長(zhǎng)．
10
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）證明見(jiàn)解析；
（3）6．
（2）證明見(jiàn)解析；
（3）6
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：104引用：3難度：0.4
相似題
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1．【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes,公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱(chēng)為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是
的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=DB+BA．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=DB+BA的部分證明過(guò)程．?ABC
證明：如圖2，在CD上截取CG=AB，連接MA、MB、MC和MG．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，?ABC
∴MA=MC，
又∵∠A=∠C，BA=GC，
∴△MAB≌△MCG，
∴MB=MG，
又∵M(jìn)D⊥BC，
∴BD=DG，
∴AB+BD=CG+DG即CD=DB+BA．
【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB=4，BC=6，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD=；?ABC
【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．?AC
【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半徑為5，則AD=．
發(fā)布：2025/5/24 15:30:1組卷：1264引用：8難度：0.2 -
2．已知AP=d是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、P重合），聯(lián)結(jié)AC，以直線AC為對(duì)稱(chēng)軸翻折AO，將點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為O1，射線AO1交半圓O于點(diǎn)B，連接OC．
（1）如圖1，推斷AB和OC位置關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O1重合時(shí)，用d表示弧PC的長(zhǎng)；
（3）過(guò)點(diǎn)C作射線AO1的垂線，垂足為E，連接OE交AC于F．當(dāng)d=10，O1B=1時(shí)，求的值．CFAF發(fā)布：2025/5/24 15:30:1組卷：57引用：1難度：0.3 -
3．微探究：如圖①，點(diǎn)P在⊙O上，利用直尺（沒(méi)有刻度）和圓規(guī)過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線．小明所在的數(shù)學(xué)小組經(jīng)過(guò)合作探究，發(fā)現(xiàn)了很多作法，精彩紛呈．
作法一：
①作直徑PA的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)B；
②分別以點(diǎn)B、P為圓心，OP為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；
③作直線PC．
作法二：
①作直徑PA的四等分點(diǎn)B、C；
②以點(diǎn)A為圓心，CA為半徑作弧，交射線PA于點(diǎn)D；
③分別以點(diǎn)A、P為圓心，PD、PC為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E；
④作直線PE．
（1）以上作法是否正確？選一個(gè)你認(rèn)為正確的作法予以證明；
（2）在圖①、圖②中用兩種作法作出符合條件的圖形（與以上作法不同）．不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．
發(fā)布：2025/5/24 16:0:1組卷：115引用：1難度：0.1