2021年安徽師大附中自主招生數(shù)學(xué)試卷

一.選擇題（本大題共6小題：每小題5分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案寫在答卷紙的指定位置上）：

• 1．楊輝三角是二項(xiàng)式（a+b）ⁿ展開式中各項(xiàng)系數(shù)的一種幾何排列．它最早出現(xiàn)在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中．利用楊輝三角，我們很容易知道（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³．設(shè)（3a-2b）³=ma³+na²b+pab²+qb³，則系數(shù)n=（　?。?/h2>

  A．54

  B．-54

  C．36

  D．-36
  組卷：174引用：1難度：0.6

  解析

• 2．有3個(gè)正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S₁，S₂，則S₁：S₂等于（　?。?/h2>

  A．4：9

  B．2：3

  C．1：4

  D．1：2
  組卷：195引用：2難度：0.5

  解析

• 3．在數(shù)軸上點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a、b,點(diǎn)A在表示-3和-2的兩點(diǎn)之間（包括這兩點(diǎn)）移動(dòng)，點(diǎn)B在表示-1和0的兩點(diǎn)（包括這兩點(diǎn)）之間移動(dòng)，則以下四個(gè)代數(shù)式的值，可能比2021大的是（　　）

  A．b-a

  B． 1 b - a

  C． 1 b - 1 a

  D． 1 a - 1 b
  組卷：183引用：2難度：0.8

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• 4．三角形的四心是指三角形的重心、外心、內(nèi)心、垂心．三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)（或三角形外接圓的圓心），三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)（或內(nèi)切圓的圓心），三角形的垂心是三角形三邊上的高所在直線的交點(diǎn)，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)．三角形的四心具有豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與內(nèi)在聯(lián)系．當(dāng)且僅當(dāng)三角形是正三角形的時(shí)候，重心、垂心、內(nèi)心、外心四心合一，稱作正三角形的中心．如圖，H是△ABC的垂心，AH、BH、CH分別交BC、AC、AB于D、E、F，則H是△DEF的（　?。?/h2>

  A．內(nèi)心

  B．外心

  C．重心

  D．垂心
  組卷：307引用：1難度：0.4

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• 5．在凸四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=120°，BC=CD=10，則A、C兩點(diǎn)之間的距離是（　?。?/h2>

  A．9

  B．10

  C．11

  D．不能確定
  組卷：216引用：1難度：0.6

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• 6．若在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0），（5，0），（0，4），點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，且∠ADB=45°．則線段CD的長(zhǎng)最小值是（　?。?/h2>

  A．5

  B．5- 2

  C．5+ 2

  D．4- 2
  組卷：520引用：4難度：0.6

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二.填空題（本大題共9小題：每小題5分，共45分.請(qǐng)把正確答案寫在答卷紙的指定位置上）

• 7．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德把人們公認(rèn)的一些幾何知識(shí)作為定義和公理（公設(shè)），在此基礎(chǔ)上研究圖形的性質(zhì)，推導(dǎo)出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》．它的問世是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上意義極其深遠(yuǎn)的大事，也是整個(gè)人類文明史上的里程碑．在這本書中，歐幾里德提出“三角形的內(nèi)角和是180°”這一定理，根據(jù)這一定理，我們可以得出“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”的結(jié)論．進(jìn)一步思考：多邊形的一個(gè)外角和與它不相鄰的內(nèi)角之間又有怎樣的關(guān)系呢？假設(shè)一個(gè)n邊形的某一個(gè)外角的度數(shù)是x°，與它不相鄰的所有內(nèi)角的和是y°，那么x與y的關(guān)系是

  ．
  組卷：57引用：1難度：0.6

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三.解答題（本大題共7題，共75分，其中第16題7分、第17題8分、第18、19、20、21、22題每題12分，請(qǐng)把正確答案寫在答卷紙的指定位置上）

• 21．射影幾何的奠基人之一，法國(guó)數(shù)學(xué)家龐斯萊（1788～1867）發(fā)明過一種玩具，如圖，這種玩具用七根小棍做成，各個(gè)連接點(diǎn)均可活動(dòng)．AF與AD等長(zhǎng)，CD，DE，EF，F(xiàn)C等長(zhǎng)，并且BC＜AD-DC，使用時(shí)，將A，B釘牢在平板上，并使A，B間的距離等于木棍BC的長(zhǎng)，繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)C點(diǎn)，則點(diǎn)C在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)就會(huì)在一條直線上運(yùn)動(dòng)．這樣一邊畫圓一邊畫直線據(jù)此可設(shè)計(jì)出“狗熊走鋼絲”等好玩的游戲．
  問題探究：愛玩的小明看到這段材料，就想用數(shù)學(xué)家制作的這個(gè)玩具玩一把，可是身邊沒有這個(gè)玩具，怎么辦呢？想了又想，最后他想用幾何畫板來(lái)模擬這個(gè)玩具，于是，他用幾何畫板構(gòu)造了如圖所示的“玩具”，在電腦上玩了起來(lái)，確實(shí)發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C在⊙B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E在一條直線上動(dòng)，而且與AG垂直，垂足為H，怎么來(lái)說(shuō)明這個(gè)結(jié)論呢？小明百思不得其解時(shí)，聰明的考生請(qǐng)你幫幫小明．
  問題解決：
  （1）求證：A，C，E在一條直線上；
  （2）求證：點(diǎn)E在一定直線上運(yùn)動(dòng)．
  組卷：74引用：1難度：0.2

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• 22．已知p、q都是正實(shí)數(shù)，且p≠

  3

  q.
  （1）證明：

  3

  必在

  p

  q

  和

  p

  +

  3

  q

  p

  +

  q

  之間；
  （2）請(qǐng)問：

  p

  q

  和

  p

  +

  3

  q

  p

  +

  q

  這兩個(gè)數(shù)，哪一個(gè)更接近于

  3

  ，說(shuō)明你的理由；
  （3）請(qǐng)你再寫出一個(gè)式子，使得它的值比

  p

  q

  和

  p

  +

  3

  q

  p

  +

  q

  的值更接近于

  3

  ．
  組卷：100引用：1難度：0.5

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